Pirmās kārtas diferenciālvienādojums kā matemātisks modelis

Vienādojumi, kurus aplūko algebrā, satur ar burtu apzīmētu nezināmu skaitli. Atrisināt šādu vienādojumu, nozīmē atrast visas nezināmā lieluma vērtības, ar kurām vienādojums kļūst par identitāti.
Risinot dažādas problēmas matemātikā, fizikā, tehnikā un citās zinātnēs, kā matemātisku modeli iegūst vienādojumus, kas satur ar burtu apzīmētu nezināmu funkciju, šīs funkcijas atvasinājumus un argumentu. Šāda vienādojuma atrisinājums ir funkcija, kura kopā ar saviem atvasinājumiem vienādojumu pārvērš identitātē.
Vienādojumu, kas satur meklējamo (nezināmo) funkciju, šīs funkcijas atvasinājumus un argumentu, sauc par diferenciālvienādojumu.
Ja nezināmā funkcija ir viena argumenta funkcija, tad diferenciālvienādojumu sauc par parasto diferenciālvienādojumu.
Ja vienādojums satur vairākargumentu funkciju un tās parciālos atvasinājumus, tad to sauc par parciālo diferenciālvienādojumu.
Diferenciālvienādojumā ietilpstošās nezināmās funkcijas atvasinājuma augstāko kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu.
1. kārtas diferenciālvienādojuma galvenie pamatjēdzieni ir
- sākuma nosacījums;
- vispārīgais atrisinājums;
- partikulārais atrisinājums;
- Košī uzdevums;
- singulārais atrisinājums;
- integrāllīnijas;
- atrisinājuma eksistence un unitāte.
Aplūkosim šos jēdzienus.
Parasti kopā ar diferenciālvienādojumu ir dota arī nezināmās funkcijas vērtība y0 kādai noteiktai argumenta vērtībai x0. Šādu informāciju par meklējamo funkciju sauc par sākuma nosacījumu un to pieraksta kā vienādību y0=y(x0).
Par diferenciālvienādojuma atrisinājumu sauc jebkuru funkciju, kuru kopā ar tās atvasinājumiem ievietojot dotajā diferenciālvienādojumā, iegūst identitāti. [2]
Par 1. kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgo atrisinājumu sauc funkciju y=φ(x,C), kas satur vienu brīvi izraudzītu konstanti, un
1)šī funkcija apmierina vienādojumu ar jebkuru konstantes C vērtību;
2)jebkuram sākuma nosacījumam y0=y(x0) var atrast atbilstošu konstantes C vērtību.
Funkciju, ko iegūst, ievietojot vispārīgajā atrisinājumā konstantes vietā noteiktu skaitli, sauc par partikulāro atrisinājumu.[2]
Par Košī uzdevumu sauc partikulārā atrisinājuma atrašanas uzdevumu, izmantojot vispārīgo atrisinājumu un sākuma nosacījumu.
Par diferenciālvienādojuma singulārajiem atrisinājumiem sauc funkcijas, kuras apmierina doto diferenciālvienādojumu, bet tās nevar iegūt no vispārīgā atrisinājuma ne ar kādu konstantes vērtību.
Par integrāllīnijām sauc diferenciālvienādojuma partikulāro atrisinājumu grafikus.
Atrisinājuma eksistences un unitātes teorēma.…