Ja funkciju var attēlot divu dimensiju plaknē un trīs dimensiju telpā, tad funkcijas, kuras satur vairāk nekā trīs mainīgos, grafiski attēlot vairs nav praktiski iespējams. Jo, n mainīgo vērtību grupu varētu saukt par „punktu” n-dimensiju telpā, kas attiecināts uz n savstarpēji perpendikulārām asīm. Tāpēc grūtāk ir arī definēt funkcijas jēdziena un pieraksta galveno gadījumu. To definē, paplašinot funkcijas galveno gadījumu vienīgi formālā un analītiskā veidā. Grafiski funkcijas ar vairāk nekā trim mainīgajiem neattēlo.
Definīcija. Mainīgu lielumu z sauc par trīs argumentu x1, x2 un x3 funkciju, ja katram punktam atbilst viena un tikai viena mainīgā z vērtība. Raksta (atklātā veidā dota funkcija) vai (apslēptā veidā dota funkcija). Analogi definē n argumentu funkciju .
Funkciju un ekstrēmu nosacījumi.
Tā kā funkcijas un neattēlo grafiski, grūtāk izprast funkciju ekstrēmu nosacījumus. Tos iegūst, paplašinot funkcijas maksimuma un minimuma punktu nosacījumus.
(1) Funkcijai ir maksimuma vai minimuma vērtības, kad ,, , ... ,, punktos, kur visām šo mainīgo vērtību variācijām, tas ir, kad
(1)
Un līdzīgi, ja definē z kā citu mainīgo funkciju, tad z maksimuma un minimuma punkti ir, kad (2)
Šeit funkcijai z ar n neatkarīgiem mainīgajiem parciālo atvasinājumu vektors – gradients – arī var definēt šo nosacījumu, kad grad. (3)
(2) Ja visām variācijām un dažām variācijām no vērtībām , tad funkcijai ir stacionāra vērtība šajā punktā, kas ir maksimuma punkts, ja visām variācijām, minimuma punkts, ja visām variācijām un sedlu punkts, ja d2z ir gan pozitīva, gan negatīva vērtība dažādām a variācijām.
Šie nosacījumi ir attiecīgi nepieciešami un pietiekoši, lai eksistētu ekstrēmi funkcijām un . Bet kritērijs vēl nav pabeigts. Jāņem vērā gadījumi, kad visām vērtību variācijām. Tāpēc jāizvērš diferenciāļa forma, lai iegūtu nepieciešamos nosacījumus, kas attiecas uz funkcijas parciālajiem atvasinājumiem. …
